[4] – Trigonometric Identity
三角恆等式

影片內容:
00:26 – \ \frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta

01:43 – \ \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1

03:08 – \ \sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta \ \ and \ \ \cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta

04:46 – \ \tan(90^{\circ}-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}

06:12 – illustrative example 1 例子 1
08:29 – illustrative example 2 例子 2
11:33 – illustrative example 3 例子 3

所屬主題:
[初中數學] – Trigonometric Ratios 三角比

Category: S1-S3 Geometry

3 Comments

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    EpicMLG
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    他題目說:已知\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}及\sin^2\theta+\cos^2\theta\equiv 1。證明下列恆等式。
    (a)(\cos\theta+\sin\theta)^2-(\cos\theta-\sin\theta)^2\equiv 2\cos\theta\cos\theta
    這題我用平方差解出來了,但B我就不會解了。
    (b)\frac{\tan\theta}{1+\tan^2\theta}\equiv\sin\theta\cos\theta

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      EpicMLG

      他題目說:已知\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\sin^2\theta+\cos^2\theta\equiv 1。證明下列恆等式。
      (a)(\cos\theta+\sin\theta)^2-(\cos\theta-\sin\theta)^2\equiv 2\cos\theta\cos\theta
      這題我用平方差解出來了,但B我就不會解了。
      (b)\frac{\tan\theta}{1+\tan^2\theta}\equiv\sin\theta\cos\theta

    • admin
      admin

      話說第一題其實應該係 \ 4\sin\theta\cos\theta ,因為:
      \large \begin{aligned}
      (\cos\theta+\sin\theta)^2-(\cos\theta-\sin\theta)^2&=\left[(\cos\theta+\sin\theta)+(\cos\theta-\sin\theta)\right]\times \left[(\cos\theta+\sin\theta)-(\cos\theta-\sin\theta)\right] \\\\
      &=2\cos\theta\times 2\sin\theta \\\\
      &=4\sin\theta\cos\theta
      \end{aligned}

      第二條其實唔難計,個技巧經常都用到:
      \large \begin{aligned}
      \frac{\tan\theta}{1+\tan^2\theta}&=\frac{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}{1+(\frac{\sin\theta}{\cos\theta})^2} \quad (\because \ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}) \\\\
      &=\frac{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\times\cos^2\theta}{(1+\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta})\times\cos^2\theta} \quad \color{red} {(learn\ this\ step)} \\\\
      &=\frac{\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta+\sin^2\theta} \\\\
      &=\sin\theta\cos\theta \quad (\because \ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1)
      \end{aligned}

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