[1] – Definition of Functions
函數的定義

影片內容:
00:38 – basic concepts and definition of functions 函數的基本概念與定義
03:45 – domain, codomain and range 定義域、上域與值域
11:57 – illustrative example 例子

所屬主題:
[高中數學] – Functions and Graphs 函數與其圖像

Category: S4-S6 Algebra

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  • Admin
    Admin
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    話說 B Curry 喺 YouTube 問咗條關於 implicit function 嘅問題 (M1 M2 嘅內容,core math 冇提及),我喺度解釋少少啦:

    1. 乜嘢係 implicit function (隱函數)?

    平時我地講開嘅 function (函數),其實都係 explicit function (顯函數),個 independent variable 自變量 (input) 同 dependent variable 應變量 (output) 係好分明。例如 y=x^2+3 咁樣,x 就係 input,y 就係 output,個 output 係自己獨立咗出嚟。

    implicit function (隱函數) 就唔同喇,input 同 output 嘅概念比較模糊,我會話佢似一個「關係」多過似我地平時理解嘅「函數」。例如 x^2 + y^2 = 1 就係一個 implicit function,佢係類似用一種 equation 嘅形式表達 x 同 y 嘅關係,而唔係將個 x 或者 y 獨立出嚟。咁點解唔將佢獨立出嚟?原因有兩個:

    原因一:唔好睇,難處理。以 x^2 + y^2 = 1 為例,如果我用 y 做 subject (主項),就會寫成:
    \large y=\sqrt {1-x^2} \ \ \ \text{or} \ \ \ -\sqrt {1-x^2} 亦即係話 x^2 + y^2 = 1 呢個 implicit function 其實係由上面兩個 explicit function 所組成,而好明顯就咁一條 implicit function 係靚好多。
    (用圖表示嘅話, x^2 + y^2 = 1 係一個 unit circle; y=\sqrt {1-x^2} 係上半圓; y=-\sqrt {1-x^2} 係下半圓)

    原因二:獨立唔到。例如 x^2 + xy + y^2 = 1 咁,你好難用 x 或者 y 做主項。不過雖然係咁,x 同 y 嘅數值依然係互相「牽制」。例如當 x = 0, y = -1 or 1; 當 x = 1, y = 0 or -1。

    另外喇,我地一直好強調,一個 valid 嘅 function,係要你 input 一個數時,淨係出一個 output。咁點解有時 implicit function 又會一個 input 出多過一個 output (好似上面「原因二」嘅例子咁)?其實「原因一」就已經解釋咗:因為一個 implicit function 可能係由多個 explicit function 所組成 (嗱,但又唔係每個 implicit function 都可以好清晰咁拆成多個 explicit function)。

    總之啦,雖然我咁講唔完全正確,但你睇 implicit function 嘅時候,唔洗咁執著 input output 嘅概念,將佢理解成一種用 equation 表達多個 variable 之間嘅關係,咁諗應該會舒服啲。

    2. 喺條 implicit function 嘅兩邊 \large \frac{d}{dx} 即係點?

    所謂 \large \frac{d}{dx} ,即係搵緊 “By how much does the target change when x is increased by an infinitesimal amount?”,係一個用極限推展出嚟嘅變化率。Derivative (導數) 就係用 function 嘅形式表達呢種變化率。

    所以平時成日見到嘅 \large \frac{dy}{dx} ,就即係 “By how much does y change when x is increased by an infinitesimal amount?”。咁如果 x 同 y 係有關係嘅,例如 y = x^3 ,咁好自然會搵到一個 non-zero function (係呢個 case \frac{dy}{dx}=3x^2 );但如果 x 同 y 係完全冇關係嘅,x 同 y 各自等於咩都唔影響對方嘅話,咁 \large \frac{dy}{dx} 就會係 0 喇 (y does not change when x is increased by an infinitesimal amount)。

    咁而家返返去 implicit function。頭先咪講過,雖然佢冇將 output 獨立出嚟,但依然有用 equation 嘅形式描述 variable 之間嘅關係。咁即係話喺 implicit function 入面,啲 x y 係會互相影響。既然係咁,當 x is increased by an infinitesimal amount,y 都應該會有相應嘅變化,個變化就係所謂 \large \frac{dy}{dx} 喇。而你喺搵嘅過程所用嘅 chain rule 之類,就只不過係 differentiation 嘅性質,等你可以將 \large \frac{dy}{dx} 獨立出嚟。

    所以你做 implicit differentiation 嘅時候,其實除咗 \large \frac{dy}{dx} ,你用同樣嘅 technique 都可以搵到 \large \frac{dx}{dy} ,而個意思當然就係 “By how much does x change when y is increased by an infinitesimal amount?”

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